Một bài toán tiểu học, sai ở đâu?

Đây là bài toán ôn thi học sinh giỏi lớp 5, đề bài và lời giải của cô giáo, một học sinh chép lại như sau:

Đội tuyển trường em tham gia hội khỏe Phù Đổng cấp huyện. Ban đầu số nữ bằng

$\dfrac{2}{3}$ số nam, sau khi xét yêu cầu thay 1 bạn nữ bằng 1 bạn nam. Vì thế số nữ lúc này bằng 75% số nam. Hỏi ban đầu đội tuyển có bao nhiêu bạn nam, nữ?

Giải
Đổi

$75\% = \dfrac{3}{4}$
Số bạn nữ bằng

$\dfrac{2}{{3 + 2}} = \dfrac{2}{5}$ số học sinh cả lớp
Sau khi thay 1 bạn học sinh nữ là

$\dfrac{3}{{4 + 3}} = \dfrac{3}{7}$ hs cả lớp
1 bạn bằng số phần học sinh cả lớp là

$\dfrac{3}{7} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{{35}}$ (số hs cả lớp).
Cả lớp có số học sinh là:

$1:\dfrac{1}{{35}} = 35$ (hs)
Có tất cả số bạn nữ là

$35.\dfrac{2}{5} = 14$ bạn.
Có tất cả số bạn nam là

$35 - 14 = 21$ bạn.
Đáp số: nữ 14, nam 21, cả đội 35 bạn.

Hết lời giải.
Ta thử kiểm tra đáp án: Tỉ lệ số nữ và số nam ban đầu =

$\dfrac{{14}}{{21}} = \dfrac{2}{3}$ (đúng)
Tỉ lệ số nữ và số nam lúc sau =

$\dfrac{{14 - 1}}{{21 + 1}} = \dfrac{{13}}{{22}} \ne \dfrac{3}{4}$
Vậy vấn đề nằm ở đâu??
Bài toán tương tự, và cách giải tương tự bài này, xem tại đây.
Sai lầm và cách sửa chữa của bài này xem phía dưới.

Ta thử giải theo cách của học sinh lớn hơn lớp 5:
Gọi số nữ ban đầu là

$x$ , số nam ban đầu là

$y$ .
Theo bài ta sẽ có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{x}{y} = \dfrac{2}{3}\\ \dfrac{{x - 1}}{{y + 1}} = \dfrac{3}{4} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 14\\ y = - 21 \end{array} \right.$
Thử lại thấy hoàn toàn phù hợp với đề bài.
Tuy nhiên số học sinh không thể là âm, vậy đề bài sai.
Nhưng tại sao lời giải vẫn ra đáp số? Lời giải sai ở đâu?
Sai ở chỗ 1 bạn bằng số phần học sinh cả lớp là

$\dfrac{3}{7} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{{35}}$ (số hs cả lớp).
Tại sao lại là

$\dfrac{3}{7} - \dfrac{2}{5}$ ?
Số học sinh cả lớp không đổi, ta đặt là

$a$ , số bạn nữ ban đầu so với cả lớp sẽ là

$\dfrac{x}{a} = \dfrac{2}{5}$ , sau khi bớt đi 1 nữ sẽ là

$\dfrac{{x - 1}}{a} = \dfrac{3}{7}$ .
Vậy là

$\dfrac{3}{7} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{{x - 1}}{a} - \dfrac{x}{a} \Rightarrow \dfrac{1}{{35}} = \dfrac{x}{a} - \dfrac{1}{a} - \dfrac{x}{a} \Rightarrow \dfrac{1}{{35}} = - \dfrac{1}{a}$
Nhầm lẫn ở đây

$\dfrac{1}{{35}} = \dfrac{1}{a}$
Vậy tóm lại bài này bị 2 lần sai, đề sai là 1, làm sai là 2.
Bài này khá thú vị, để sửa đề cho đúng, ta chỉ cần thay đổi "sau khi xét yêu cầu thay 1 bạn nữ bằng 1 bạn nam" thành "sau khi xét yêu cầu thay 1 bạn nam bằng 1 bạn nữ", các giữ kiện khác giữ nguyên.
Lời giải sửa chỗ "Sau khi thay 1 bạn học sinh nữ là " thành "Sau khi thêm 1 bạn học sinh nữ là", các phép tính giữ nguyên, đáp số giữ nguyên.

Categories: Toán học thú vị