Để môn hình học không còn là nỗi ám ảnh

LTS: Tòa soạn đã nhận được bài viết thể hiện quan điểm của Giáo sư Nguyễn Tiến Dũng, thực hiện theo đề nghị của thầy Ngô Văn Minh (Giáo viên toán Trung học Cơ sở Archimedes) bàn về cách nâng cao chất lượng giảng dạy môn hình học tại Việt Nam.

Giáo sư Nguyễn Tiến Dũng là một nhà toán học người Việt tại thành phố Toulouse (Cộng hòa Pháp), được phong Giáo sư vào năm 2002 khi 32 tuổi, và được phong thành Giáo sư ngoại hạng (classe exceptionnelle) vào năm 2015.

Ông từng đạt Huy chương Vàng Olympic Toán quốc tế (IMO) năm 1985 tại Phần Lan khi mới 14 tuổi, và là học sinh đạt Huy chương Vàng IMO trẻ nhất của Việt Nam từ trước tới nay.

Tòa soạn trân trọng gửi đến độc giả bài viết!

Các học sinh đi thi toán quốc tế IMO của Việt Nam thường mạnh về hình học sơ cấp mà yếu về toán tổ hợp so với các nước khác.
Lý do là toán tổ hợp đòi hỏi suy nghĩ sáng tạo, còn các bài toán hình học sơ cấp thường chỉ cần được luyện nhiều là làm được, hợp với kiểu học và luyện thi hiện tại của Việt Nam.
Nhưng đó là nói về học sinh thi toán quốc tế, còn đối với rất nhiều học sinh khác, thì môn hình học lại là một môn khó, đáng sợ hơn môn đại số. Thậm chí có những học sinh thuộc diện thủ khoa đầu vào Trung học Cơ sở các trường TOP như Hanoi Amsterdam cũng cảm thấy thiếu tự tin khi gặp các bài toán hình học. Vì sao vậy?
Theo thầy Nguyễn Khắc Minh (chuyên gia của Bộ Giáo dục và Đào tạo), một lý do chính là cách dạy hiện nay.
Đi vào phân tích kỹ hơn, chúng ta có thể nhận thấy một số nhược điểm trong cách dạy môn hình học phổ biến hiện nay như sau:
1) Không tạo được cảm hứng cho học trò.
2) Thiếu cơ bản, dập khuôn giải các dạng bài thay vì chú trọng đến việc hiểu cốt lõi vấn đề.
3) Cô lập, không chỉ ra các ứng dụng và sự liên quan đến những thứ khác.
4) Quá hình thức, không kích thích phát triển khả năng hình dung hình học.
Tôi xin đưa ra đây một số chi tiết và ví dụ minh họa, cũng là để bàn về việc nên thay đổi cách dạy (và cách học) như thế nào cho hấp dẫn và hiệu quả hơn.

Trước hết, về Điểm 4:
Tất nhiên, cả 4 điểm trên đều có thể nói cho việc dạy mọi môn khác chứ không riêng hình học. Điểm đặc biệt của hình học nằm ở chỗ nó không những sử dụng suy luận logic mà còn đòi hỏi cao và phát triển mạnh khả năng hình dung hình học trực giác (Tư duy hình dung trực giác ở các môn khác cũng cần, nhưng đặc biệt trong hình học nó càng thể hiện rõ).
Nói về thần kinh học, thì tức là nó dùng cả não trái (tính toán logic) và não phải (trực giác hình học).
Tương tự như là trong máy tính và smartphone có cả “main processor” và “graphics processor” vậy, cả hai đều quan trọng để cho nó chạy nhanh chạy tốt. Nếu không vận dụng phần não phải thì tư duy hình học ắt bị ảnh hưởng nhiều.
Một lần tình cờ tôi xem trên youtube một bài giảng kéo dài khoảng một tiếng của một giáo viên Việt Nam về phép quay. Chỉ cần nghe một số phút đầu tiên tôi đã xác định thấy đây là một bài giảng chán, khiến học sinh sợ môn hình.
Ngay mở đầu bài giảng, giáo viên đã nói: “Phép quay là một vấn đề khó”.
Tiếp đó, giáo viên đưa ra định nghĩa phép quay một cách hình thức, kiểu như:
“Phép quay là một phép biến đổi trong mặt phẳng sao cho nó cố định một điểm A và nó biến mỗi điểm P thành một điểm P’ thỏa mãn những điều kiện sau: …” (trong lúc giáo viên nói định nghĩa đó, thì cũng không hề chỉ vào một hình nào để minh họa, mà chỉ nói như tụng kinh).
Định nghĩa này không sai, chỉ có điều nó không trực giác, khó theo dõi (nhớ được đủ các ký hiệu đã đủ mệt, chưa nói đến chuyện hiểu), và không thích hợp để làm điểm khởi đầu cho một bài giảng về phép quay.
Thay vào đó, có thể giảng như thế nào cho sinh động, dễ hiểu? Tôi xin đưa ra vài gợi ý:
- Đừng bao giờ nói “Cái này khó lắm”. Mọi khái niệm toán học ở phổ thông đều trong sáng, tự nhiên, chẳng có cái gì “khó lắm”.
Khó thì không phải là do bản thân kiến thức khó, mà cách tiếp cận không thích hợp biến cái dễ thành cái khó (và biến cái khó hơn thành cái không thể hiểu, xin trích ra đây một câu chuyện có thật: bản thân nhiều giảng viên Đại học không hiểu bản chất cái mình giảng).
- Phép quay là phép biến đổi rất tự nhiên mà học sinh trước khi đi học đã nhìn thấy tận mắt hàng ngày. Cần bắt đầu bởi những cái mà học sinh đã biết đó: bánh xe đạp quay, kim đồng hồ quay, cối xay quay…
Những cái đó có “khó” không? Sao không cầm một cái gì đó cắm vào một trục và quay nó trước mặt học sinh? Sẽ thật dễ hiểu và trực giác. Sẽ thấy ngay trục quay là điểm cố định, các điểm khác dời chuyển đi vì thỏa mãn các tính chất dễ thấy bằng trực giác.
Rồi sau đó mới đến đoạn kiểm tra các tính chất đó một cách chặt chẽ, viết thành định lý. Chú ý là chứng minh của một định lý dù có đúng cũng chưa chắc đã là cách giải thích hay ho cho học sinh hiểu.
Đầu tiên cần hiểu ý tưởng vì sao nó lại đúng, rồi mới đến chứng minh chặt chẽ, mới là quá trình tiếp cận hiệu quả hơn.
- Đưa ra một số ví dụ về việc phép quay cho phép chúng ta tìm ra lời giải đẹp đẽ nhanh gọn cho nhiều vấn đề như thế nào. Những ví dụ đó sẽ giúp học sinh thấy khái niệm này bổ ích, đáng nhớ, đáng học.
Chẳng hạn như ví dụ sau (xem hình đính kèm):

Ví dụ.

Cách giải bài trên theo lối “thông thường” mà học sinh Việt Nam được học sẽ thông qua việc chứng minh các tam giác bằng nhau (ví dụ tam giác OAP bằng tam giác ODQ theo tiêu chuẩn c-g-c) và gồm nhiều bước. Nhưng nếu quan sát sẽ thấy ở đây ta có phép quay 90 độ quanh O, và nó phải biến điểm Q thành điểm P.
Lời giải theo phép quay này là lời giải tự nhiên nhất và gọn gàng nhất: Phép quay 90 độ quanh O theo chiều dương biến D vào A, biến A vào B. Do đó nó biến đường thằng DQ vào đường thẳng AE (vì hai đường này tạo với nhau một góc 90 độ bằng với góc quay), biến đường thẳng AE vào đường thẳng BP (với lý do tương tự), do đó nó biến giao điểm của hai đường DQ và AE (tức là điểm Q) vào giao diểm của hai đường AE và BP (tức là điểm P).
Suy ra OQ quay thành OP theo phép quay 90 độ, tức là OQ = OP và góc QOP bằng 90 độ.
Bài tập trên lấy từ một quyển sách rất hay về hình học sơ cấp nhan đề “Xung quanh phép quay – Hướng dẫn môn hình học sơ cấp”, được Giáo sư Nguyễn Hùng Sơn và Giáo sư Nguyễn Sinh Hoa (Đại học Tổng hợp Warszawa, Ba Lan) giới thiệu và dịch ra tiếng Việt.
Tác giả của nó là Giáo sư Waldemar Pompe (cũng của Đại học Tổng hợp Warszawa), người phụ trách đội tuyển IMO của Ba Lan trong nhiều năm. Tuy gọi là “phép quay” nhưng thực ra sách giới thiệu công dụng của các phép dời hình nói chung (cả quay, tịnh tiến và đối xứng gương) trong hình học phẳng.
Như Pompe có viết, hầu hết các định lý hình học sơ cấp suy ra được từ hai quan sát cơ bản: quan sát thứ nhất là bất đẳng thức tam giác, và quan sát thứ hai là các phép dời hình vừa kể trên là các phép bảo toàn các số đo hình học.
Các tiếp cận hình học này vừa tự nhiên vừa hiện đại, và cho phép hiểu và giải quyết một cách đẹp đẽ nhiều vấn đề hình học khác nhau, ví dụ như bài toán tối ưu sau (gọi là bài toán Fermat): Có ba cái nhà (3 đỉnh của tam giác) trên mặt phẳng. Hãy tìm đường ngắn nhất nối 3 cái nhà đó với nhau.
Có vị ở Việt Nam phô trương là dạy được toán cao cấp như là lý thuyết nhóm cho học sinh cấp 1 bằng “công nghệ giáo dục” của mình. “
Công nghệ” dạy đó như thế nào? Hoàn toàn hình thức. Đưa ra định nghĩa hình thức về nhóm (như là có thể tìm thấy trong các sách về đại số cao cấp), rồi đưa ra mấy ví dụ hình thức bắt học trò kiểm tra nó thỏa mãn cái định nghĩa trên để kết luận đó là nhóm.
Cách dạy đó là cách dạy vô nghĩa, không làm cho học sinh hiểu bản chất vấn đề, không biết nhóm dùng để làm gì, tại sao lại phải học nó.
Trong khi đó, các phép dịch chuyển trong hình học chính là các phần tử của các nhóm đối xứng, và việc quan sát tác động của chúng, sử dụng các tính chất của chúng để giải quyết các vấn đề mới làm cho chúng trở nên có nghĩa, sinh động.

Về Điểm 3:
Trong khuôn khổ có hạn của sách giáo khoa hiện tại, có thể không có nhiều chỗ cho việc giới thiệu các ứng dụng và xuất phát điểm của các khái niệm hình học.
Nhưng nếu vậy thì cần thêm sách tham khảo cho học sinh đọc để biết nhiều thêm về ứng dụng thực tế của hình học ra sao, và giáo viên nên nhắc đến chúng khi giảng bài chứ không sẽ thành “lý thuyết suông”.
Một bạn kể rằng, khi học phổ thông học hình học chẳng hiểu gì cả, nhưng khi vào đại học phải học môn đồ họa, tự nhiên thấy hình học dễ hiểu hẳn. Tại sao lại không nhắc đến hình họa trong hình học?
Không chỉ hình hoạ, mà rất nhiều vấn đề “thường ngày” khác cần đến kiến thức hình học sơ cấp.
Chẳng hạn như xây tường để khỏi đổ thì tường phải đứng thẳng, tức là vuông góc với mặt đất. Mặt bàn thì phải đặt nằm ngang, tức là song song với mặt đất nếu không muốn các thứ đặt trên đó bị lăn trượt đi, bánh xe đạp thì phải tròn thì mới lăn tốt mà xe không bị nhấp nhô…Các khái niệm hình học đều có thể lấy ví dụ từ thực tế khá gần gũi. Bản thân từ hình học trong các thứ tiếng Tây là “geometry” có nghĩa là “đo đất đai”, là môn học dùng để đo đạc ruộng đất, nhà cửa… nên rất dễ lấy ví dụ thực tế.
Gần đây tôi có viết một quyển sách nhan đề “Toán học và Nghệ thuật”, trong đó có nhiều ví dụ thực tế về việc hình học ảnh hưởng trực tiếp đến các nghệ thuật tạo hình và kiến trúc ra sao. Đây là sách viết về toán nhưng cho những người không cần có kiến thức chuẩn bị gì về toán, và mục đích chính là để gây cảm hứng, cho thấy toán học có ý nghĩa ra sao (trong nghệ thuật).
Hy vọng bạn đọc sẽ thích nó, đặc biệt nếu đang sợ hình học!
(“Nghịch lý cột đền” về chuyện cột ở giữa trông có vẻ nhỏ hơn các cột bên cạnh tuy thực ra chúng bằng nhau, và ảo giác về zombi to nhỏ khác nhau, là hai trong số nhiều ví dụ về hình học sơ cấp được giải thích trong sách “Toán học và nghệ thuật”).
Chẳng hạn như môn “hình học xạ ảnh” nảy sinh chính từ việc vẽ phối cảnh hình sao cho trông giống như thật.
Từ “xạ ảnh” gốc Hán Việt nghe kỳ bí, khó hiểu, tuy thực tế không đến mức khó hiểu như vậy. Tiếng Tây của từ này là “projective”, có nghĩa là phép chiếu, tức là hình học của các phép chiếu.
Khi vẽ hình một đồ vật hay phong cảnh (3 chiều) nào đó, là ta đã chiếu nó lên tờ giấy hay khung tranh 2 chiều.
Chính vì thế muốn vẽ đẹp, vẽ đúng, cần biết một số nguyên tắc cơ bản của hình học phép chiếu (tức là hình học xạ ảnh). Ở trường phổ thông cũng có môn học vẽ, nhưng có lẽ thầy giáo vẽ chẳng bao giờ đả động đến kiến thức phép chiếu của hình học, còn thầy hình học chẳng đả động đến điêu khắc, hội họa hay vẽ kỹ thuật.
Tạo được sự tương tác thì học sinh sẽ học tốt hơn, hiểu rõ hơn cả hình học lẫn các môn kia.

Về Điểm 2:
Cách học “ăn sổi”, “mì ăn liền”, chạy theo điểm số ở Việt Nam là một trong những lý do khiến học sinh học hời hợt, có thể giải bài tập (những dạng bài được làm đi làm lại nhiều lần, hoặc có trong quyển sách luyện thi nào đó) như cái máy mà không hiểu bản chất vấn đề. Điều này thực sự đáng ngại, và càng học lên cao và khi ra ngoài làm việc càng lộ rõ.
Có những khi tôi phỏng vấn những sinh viên cao học ngành toán thuộc loại xuất sắc của Việt Nam (cho việc du học tại Pháp), sinh viên kể đã học những môn “rất cao cấp”, nhưng khi hỏi một số câu hỏi khá cơ bản (cao cấp vừa phải thôi) thì không trả lời được, chứng tỏ học vội vàng và hổng nhiều.
Trong môn hình học ở bậc phổ thông, tình trạng có lẽ cũng tương tự như vậy, chạy theo điểm số hình thức mà bỏ qua bản chất của kiến thức.
Tôi thử lấy một bài tập ví dụ, nếu học sinh hay thầy cô nào quan tâm thí nghiệm thử xem sao:
- Hãy tự chứng minh các tính chất đồng quy của các bộ ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba đường trung trực, và ba đường phân giác.
- Tại sao nếu biết 3 cạnh của một hình tam giác thì xác định được diện tích của nó?
Tất nhiên, những câu hỏi trên có tính lý thuyết và đã đều có phát biểu và chứng minh trong sách.
Nhưng hãy thử không học thuộc lòng chứng minh của sách, tự mình khôi phục lại cách chứng minh bằng lập luận của mình, thì có làm được không? Hay lấy những bài tập đơn giản kiểu như:
- Có ba đoạn thẳng với độ dài tương ứng là 3, 4, 6 (cm). Dựng tam giác với độ dài các cạnh như vậy, nó là tam giác nhọn, hay vuông, hay tù? Vì sao? Tính diện tích của nó?
Nếu học sinh nào làm được, tức là hiểu đáng kể hình học phẳng, đừng quá bận tâm nếu không làm được các bài hình học rắm rối.
Chúng sẽ trở nên dễ dàng hơn một khi ta hiểu bản chất các khái niệm hình học, và học một vài phương pháp thông dụng để giải bải tập (ví dụ như phương pháp sử dụng phép đối xứng như bàn đến ở trên, phương pháp vẽ thêm đường phụ, và phương pháp quỹ tích).
Một trong những cuốn sách giáo khoa trình bày hình học sơ cấp một cách cơ bản, sáng sủa nhất mà tôi biết là cuốn “Hình học sơ cấp” của Kiselev (gồm hai phần, “Hình học phẳng” và “Hình học không gian”).
Các bài tập trong sách đó (mà sách có rất nhiều bài tập) chủ yếu là ở dạng cơ bản, không rắm rối, làm được là hiểu được bản chất hình học.
Thầy giáo Tôn Thân nổi tiếng khi xem sách Kiselev cũng trầm trồ khen đây là quyển sách rất hay.
Các bài mẹo mực dở ở chỗ nó làm lệch lạc nhận thức về việc đâu là kiến thức cơ bản quan trọng: học sinh dễ bị sa đà vào cái mẹo mực ít ý nghĩa thay vì cái cơ bản hữu dụng, và khi không làm được cái mẹo mực lại đâm thành sợ toán, ghét toán.
Các bài kiểm tra học sinh không nên quá rối rắm hay đòi hỏi nhiều mẹo mực.

Một hình minh họa từ sách “Hình học sơ cấp” của Kiselev, một quyển sách  rất cơ bản, không mẹo mực, và chứa rất nhiều kiến thức hay mà học sinh Việt Nam không được học.

Về điểm 1:
Các điểm 2, 3, 4 kể trên chính là những điểm góp phần làm học sinh mất hứng thú với hình học, tạo lại được cảm hứng cho học sinh là điều quan trọng, vì một khi có cảm hứng thì học sẽ nhanh vào.
Trong điều kiện mà cảm hứng tạo ra được trong giờ học chính thức có hạn, thì học sinh nên tìm hiểu thêm các hoạt động ngoại khóa sinh động, và đọc các sách tham khảo hấp dẫn.
Ở Việt Nam từ trước đến nay cũng đã có các quyển sách tham khảo thú vị, có tác dụng gợi mở cảm hứng, về toán học nói chung và hình học nói riêng.
Ví dụ như là quyển “Hình học vui” của Perelman, hay quyển “Thuyền trưởng đơn vị” của Levshin (Cả hai đều được dịch từ tiếng Nga, và người ta có thể chê nước Nga về thứ này thứ khác nhưng không thể phủ nhận là Nga có thời kỳ hoàng kim về toán và vật lý, phóng vệ tinh “Sputnik” vào vũ trụ trước Mỹ).
Tuy nhiên, theo tôi được biết, nếu như các sách giáo khoa dù hay dở ra sao cũng được in với số lượng hàng trăm nghìn bản mỗi lần, thì các sách tham khảo hay được phát hành với số lượng còn rất khiêm tốn (chỉ vài nghìn bản).
Trên thị trường sách tham khảo thì vẫn chủ yếu là các sách bài tập, luyện thi “mì ăn liền” chiếm ưu thế áp đảo, chứ lượng sách tham khảo có tính gợi mở, khơi dậy cảm hứng còn rất ít, trung bình có lẽ cứ hàng trăm học sinh thì mới có được một học sinh có sách như vậy, mà sách như vậy mới dễ đem lại cảm hứng cho học sinh.
Hy vọng tình hình sẽ thay đổi trong tương lai gần, tất nhiên học sinh có nhu cầu điểm cao để còn được vào trường tốt, nhưng kiểu học chỉ hướng tới điểm thi mà không có cảm hứng hay hiểu bản chất là kiểu học kém hiệu quả về lâu về dài.
Nếu muốn chuyển từ ghét hình học, sợ hình học sang thành thích hình học, thì đặc biệt cần những sách khác nữa, ví dụ như là những quyển sau:

Một tranh trong sách “Một ngày phiêu lưu trong thế giới toán học kỳ diệu” về ứng dụng hình học vào việc chữa sỏi thận.

-“Thuyền trưởng đơn vị” của Levshin: Câu chuyện du hành ly kỳ của chú bé Số Không, qua đó có những giải thích sinh động về điểm, đường, tiên đề, định lý, trọng tâm, các đường đặc biệt trong tam giác…

- “Một ngày phiêu lưu trong thế giới toán học kỳ diệu” của Akiyama và Ruiz: Có nói đến nhiều loại đường và mặt khác nhau xuất hiện trong thực tế ra sao, ví dụ như mặt của ăng ten parabol, mặt ellipsoid dùng trong máy chữa sỏi thận, các hình có độ rộng không đổi mà không nhất thiết phải tròn…

Ngô Văn Minh

Tên bài gốc "Làm theo các cách sau, môn hình học sẽ không còn là nỗi ám ảnh nữa" 

Từ giaoduc.net.vn

-->Xem tiếp... Categories: Dạy học Toán, Giáo dục

Vì sao con lại phải học Toán?

Thầy giáo Peter Caryotakis đưa ra 2 đáp án cho các học sinh của mình “Vì có ngày thể nào các em cũng phải làm bài tập toán hộ con cháu các em” Đáp án này tuy có hơi hài hước nhưng xem ra cũng rất thực tế. Đồng thời ông cũng đưa ra một câu trả lời nghiêm túc hơn “Vì hiểu biết về toán học sẽ mở cho các em có vô số cơ hội trong tương lai”.
Giáo viên môn toán khắp nơi đều có những câu “bí kíp” của riêng mình để giải đáp cho câu hỏi bất tận về việc học môn toán. Nhưng tổng hợp lại, có 3 lý do chính đáng và vô cùng thuyết phục khiến người ta không thể bỏ qua môn học này:

1. Học toán để rèn luyện tư duy

Không ai có thể phủ nhận rằng: Thành công của một cá nhân tùy thuộc vào mức độ xử lý tình huống trong toàn bộ cuộc đời. Dù có ở làm công việc gì hay ở vị trí nào thì ta cũng sẽ cảm thấy thỏa mãn và phấn khích khi biết cách đối đầu với những thử thách ở trước mắt. Và khi trẻ không thể luyện tập trước việc xử lý tất cả các tình huống có thể xảy ra trong đời, có một môn học có thể giúp trẻ rèn luyện suy nghĩ logic: môn toán học. Làm toán có thể giúp trẻ luyện khả năng giải quyết vấn đề theo các bước, điều này hoàn toàn có thể được áp dụng vào các tình huống hang ngày: chỉ rõ vấn đề, đưa ra các hướng giải quyết, bắt tay vào giải quyết và đánh giá kết quả.

Có một câu hỏi: Tại sao mọi người lại cần tới phòng tập thể dục để tập? Chắc chắn không phải vì họ mong muốn giành được huy chương trong kỳ Olympics. Lý do chỉ đơn giản là mọi người đều muốn rèn luyện sự dẻo dai và sức khỏe, làm sao cho cuộc sống thật dễ chịu và thoải mái. Toán học có khác gì so với việc tập thể dục cho bộ não đâu! Có thể sẽ chẳng bao giờ bạn cần phải đụng tới phương trình bậc 2 trong cả cuộc đời, nhưng quá trình học sẽ giúp củng cố sức mạnh của não bạn. Bằng cách luyện tập việc giải quyết các bài toán, bạn đã tăng cường khả năng đưa ra các quyết định phức tạp cho mình.

Trong một bài thuyết trình có tựa đề “Dạy và học Đại số dựa trên thần kinh học/ Nghiên cứu khoa học về nhận thức”. Giáo sư toán học Ed Laughbaum đã trích dẫn của tiến sĩ Richard Restak, nhà thần kinh học: “…trí thông minh chẳng khác gì chất dẻo và hoàn toàn có thể “biến đổi” được. Toàn bộ kinh nghiệm của ta là kết quả của việc hình thành các liên kết thần kinh. Những trải nghiệm càng phong phú, đa dạng và thử thách thì các liên kết ngày càng tinh vi hơn.” Học những khái niệm trừu tượng như Đại số sẽ “ép” cho bộ não phải nghĩ theo các phương thức mới mẻ, việc này sẽ giúp tạo ra những liên hệ cần thiết để giải quyết được bất kỳ một vấn đề nào trong tương lai”.

2. Học toán để vận dụng trong thực tế

Đôi khi thiếu hiểu biết cơ bản về toán học sẽ khiến bạn rắc rối to. Thầy Caryotakis đã đưa ra một ví dụ thực tế như một lý do để học toán cơ bản “Nếu xe ô tô của các em có 2 lít xăng, và em còn phải đi 30 km nữa, liệu em có đi nổi không?” Đáp án sai cho câu hỏi này có thể khiến người trong cuộc phải cuốc bộ dài dài.

Sau đây là các tình huống khác mà tính toán sai có thể đẩy người ta vào tình huống dở khóc dở cười hay thậm chí đe dọa tính mạng:

Bạn chuẩn bị đi du lịch tới Canada, dự đoán nhiệt độ là 32 độ C. Bạn sẽ chuẩn bị giày ống hay dép quai?
Con bạn cần uống thuốc hạ sốt vào lúc 3h sáng. Hướng dẫn sử dụng ghi rõ: trẻ nặng 30 kg uống 2 thìa thuốc. Con bạn nặng 20 kg thì cần uống bao nhiêu?
Bạn cùng 8 người nữa đi ăn tối, mọi người chia nhau số tiền 177 đồng trên hóa đơn thanh toán. Cộng thêm cả tiền tip cho bồi bàn 20%, mỗi người sẽ phải đóng bao nhiêu?
Bạn muốn sơn 3 chiếc giường chiều dài 4m x 3m. Bạn phải dung bao nhiêu sơn?
Bạn muốn thế chấp tài sản cố định trong 30 năm lấy số tiền 200 000 đồng. Phương án nào tốt hơn: 5.6% lãi hàng năm, hay 5.3% lãi nửa năm một?
Bơ đậu phộng của bác Joe giá 3,5 đồng một kg. Trong khi ở chợ bán 23 xu một lạng. Mua ở đâu thì được giá hơn?
Chính khi lâm vào những tình huống trên thì người lớn chúng ta mới bắt đầu ước ao giá mình để tâm nhiều hơn vào những giờ học toán.

3. Học toán để có một tương lai tươi sáng

Trong quyển sách của mình Vì sao môn toán quan trọng, giáo sư Jo Boaler đã lý luận rằng tương lai của nền kinh tế hoàn toàn phụ thuộc vào việc trẻ em nhận được nền giáo dục toán học chất lượng. “Sinh viên không đạt kết quả cao và không chọn học toán ngoài các lớp cơ bản; tình huống này chính là nguy cơ nghiêm trọng đe dọa tới sự tiến bộ của ngành y tế, khoa học và kỹ thuật tương lai”.

Ví dụ như ở nước Mỹ, thế kỷ 20 đã ghi nhận nhiều thành công về kinh tế được thúc đẩy bởi nền khoa học kỹ thuật tiên tiến, từ mẫu xe hơi của Ford tới máy Macintosh của Apple. Thiết kế, tạo lập và đem bán những kỹ nghệ này đã đem đến mức sống tốt nhất thế giới cho người Mỹ. Vậy mà, số sinh viên Mỹ học chuyên ngành toán học đang giảm, trong khi con số này đang tăng ở các nước khác.

Để khám phá ra những lý do cho sự chênh lệch này, người viết đã chuyện trò cùng Babak Darafshi, một kỹ sư điện người sinh ra ở Iran nhưng lại có bằng cấp tại nước Mỹ. “Suốt cả quá trình tôi lớn lên, quan điểm của xã hội là sự trọng vọng dành cho các kĩ sư và bác sĩ.” Anh giải thích. “Quan điểm này tồn tại ở nhiều nước trừ nước Mỹ (những nước đang phát triển hoặc phát triển như Trung Quốc, Ấn Độ, Brazil, Hàn Quốc, Đài Loan). Toán và vật lý cũng như các môn khoa học là bắt buộc, là chính khóa đối với nền giáo dục, giáo trình môn toán của học sinh các nước này còn nặng hơn giáo trình dành cho sinh viên năm đầu ở nước Mỹ”. Những quốc gia này hiểu rằng một chương trình giáo dục khắt khe dành cho môn toán và khoa học là tối cần thiết để tạo ra vô số việc làm có thể thay đổi cả nền kinh tế, một khía cạnh mà nước Mỹ đang dần để tuột.

Trong bài phát biểu gần đây về nền kinh tế với nhiều vấn đề, tổng thống Obama đã nhấn mạnh rằng : “Một trong những thay đổi tôi muốn chứng kiến.. là một lần nữa thấy những người giỏi nhất và sáng giá nhất của chúng ta dồn hết tâm sức để kiến tạo kỹ sư, nhà khoa học…. Hãy dồn sức để xây đắp và tạo ra những thứ giúp đất nước tăng cường xuất khẩu.” Nếu muốn các sinh viên đáp ứng được những mục tiêu của Tổng thống, phụ huynh và các nhà giáo dục nhất thiết phải tìm ra những cách để khiến môn toán học hấp dẫn đối với trẻ. Chỉ như thế, những mầm non tương lai mới thấy được khích lệ để theo đuổi những sự nghiệp có khả năng vực dậy nền kinh tế và khoa học của đất nước.

Theo Funchild (trích từ bethongminh.vn)

-->Xem tiếp... Categories: Dạy học Toán, Toán học thú vị

Khi nào thì em mới dùng tới mấy thứ này?

Ngay lúc này đây, trong một phòng học ở đâu đó trên thế giới này, một cô học sinh đang than phiền với giáo viên toán của mình.
Người giáo viên này vừa yêu cầu cô dành một phần đáng kể cuối tuần tuyệt vời của cô để tính ba chục cái tích phân.
Có nhiều thứ khác mà cô muốn làm. Thật ra, cô muốn làm bất kì thứ nào khác. Cô biết rõ điều này, vì cô cũng đã dành các cuối tuần tuyệt vời trước đó để giải ba chục cái tích phân không khác là bao. Cô chẳng hiểu mục đích việc này và cô nói vậy với người giáo viên. Trong cuộc trò chuyện này, đến một lúc nào đó, cô sẽ hỏi câu mà mọi giáo viên đều sợ:
"Khi nào thì em mới dùng tới mấy thứ này?"
Giờ thì, người giáo viên có lẽ sẽ nói đại khái là:
"Tôi biết mấy cái này có vẻ nhàm chán với em, nhưng hãy nhớ rằng, em vẫn chưa biết mình sẽ chọn ngành nào, em có thể không thấy sự liên quan bây giờ, nhưng biết đâu được em sẽ vào ngành nào đó cần thiết phải tính được tích phân nhanh và chính xác bằng tay thì sao?"

Câu trả lời này hiếm khi thỏa mãn các học sinh. Bởi lẽ nó là một lời nói dối. Và cả người giáo viên lẫn cô học sinh đều biết rằng nó là một lời nói dối. Lượng người cần đến kiến thức về cách tính tích phân của (1-3x)dx hay công thức của cos(3a) hay phép chia đa thức chỉ đếm trên đầu ngón tay.
Lời nói dối này cũng không đủ để thỏa mãn các giáo viên. Tôi biết chứ, từ kinh nghiệm nhiều năm dạy toán và yêu cầu hàng ngàn sinh viên giải hằng hà sa số các tích phân.
May mắn thay, có một câu trả lời tốt hơn. Đại để là thế này:
"Toán học không phải chỉ là một chuỗi các phép tính lặp đi lặp lại cho tới khi em cạn kiệt kiên nhẫn hay sức lực - tuy là em có thể cảm thấy nó là vậy từ các lớp dạy toán học trong nhà trường. Những tích phân đó trong toán học cũng giống như các bài cử tạ hay xà đơn trong bóng đá. Nếu em muốn chơi đá bóng - ý tôi là, thật sự chơi, ở cấp độ chuyên nghiệp ấy - em cần thực hiện nhiều bài luyện tập buồn tẻ, lặp đi lặp lại, có vẻ vô nghĩa như vậy. Các cầu thủ chuyên nghiệp có bao giờ dùng các động tác đó không? Hẳn là em chưa bao giờ thấy cầu thủ nào chạy ra sân để vác một cái tạ hay đưa bóng qua mấy cái nón giao thông đâu nhỉ. Nhưng chắc rằng em đã thấy các cầu thủ sử dụng sức mạnh, tốc độ, phán đoán và sự dẻo dai có được từ các buổi luyện tập tuần này qua tháng khác đó. Việc luyện tập trở thành một phần của chơi đá bóng.
"Nếu em muốn chơi đá bóng để kiếm sống, hay gia nhập đội tuyển quốc gia, em sẽ phải dành nhiều tuần nhàm chán trên sân tập. Không còn cách nào khác cả. Nhưng tin mừng là thế này. Nếu những bài tập đó quá sức của em, em vẫn có thể chơi cho vui, với bạn bè mình. Em có thể tận hưởng niềm vui rê bóng qua hậu vệ đội đối thủ và sút vào từ những khoảng cách tương tự như cầu thủ chuyên nghiệp. Em sẽ hạnh phúc hơn khi chỉ ngồi nhà xem các trận cầu chuyên nghiệp trên TV.
"Toán học cũng như vậy. Em có thể không nhắm tới một chuyên ngành thiên về toán học. Bình thường thôi - nhiều người cũng vậy mà. Nhưng em vẫn có thể làm toán. Em có lẽ đã và đang làm toán, ngay cả khi em không cho là vậy. Toán học đan xen vào cách chúng ta suy luận. Toán giúp ta giỏi hơn. Hiểu được toán là như thể em được đeo một bộ kính X-ray nhìn thấu mọi cấu trúc ẩn sâu dưới bề mặt hỗn mang của thế giới. Toán là môn khoa học để không bị sai về điều gì, các kĩ thuật và thói quen trui rèn qua hàng thế kỉ cố gắng và tranh luận. Với toán học làm công cụ, em sẽ có góc nhìn sâu hơn, chặt chẽ hơn và ý nghĩa hơn về thế giới. Mọi thứ em cần là một huấn luyện viên, để dạy em luật và các chiến thuật cơ bản. Đó là tôi, tôi sẽ cho em những điều đó."

(Ellenberg, Jordan. "When Am I Going to Use This?"
How Not To Be Wrong: The Power Of Mathematical Thinking) - Nguồn Toán mô hình Hà Nội

-->Xem tiếp... Categories: Dạy học Toán, Toán học thú vị

Ích gì, Toán học ?

Có thể 5 năm nữa, trong dịp kỷ niệm 10 năm VIASM, chúng ta lại sẽ phải bàn về câu hỏi : "Ích gì, Toán học?”
Phải chăng đó là câu hỏi vĩnh cửu, song hành với Toán học từ khi nó ra đời? Cũng như câu hỏi tương tự cũng song hành cùng Nghệ thuật và Thơ ca. 

Trong những dịp kỷ niệm 5 năm, 10 năm,… của tổ chức nào đó, người ta thường liệt kê những việc đã làm, những kết quả đạt được. Thực chất là cố gắng “chứng minh” rằng, việc thành lập cái tổ chức đó là cần thiết, rằng nó có ích. Vậy nên câu hỏi “Ích gì, Chương trình quốc gia phát triển Toán học?”, “Ích gì, VIASM?” , nếu không được phát biểu một cách công khai, thì chắc chắn cũng lởn vởn trong đầu không ít người, như nó đã từng được đặt lên bàn của những nhà hoạch định chính sách, của Bộ Tài chính, Bộ Giáo dục và Đào tạo.

Vậy nên, khi được đề nghị làm một “bài giảng đại chúng”, tôi đã chọn đề tài “Ích gì, Toán học?”. Mà người “mách nước” cho tôi chọn đề tài đó lại không là một nhà toán học, mà là… Chế Lan Viên! Hình như ông cũng đã từng trăn trở với câu hỏi “Ích gì Thơ ca? Ích gì, Nghệ thuật?”.
Ích gì? (Chế Lan Viên – Di cảo)

Khéo rồi mất giống bò sữa, hoạ mi, ngựa đua, gà chọi…
Khó gì? Ta không giữ, không nuôi thì nó mất
Giống các nhà thơ cũng vậy
Tuyết trên non cao không ai thấy,
Giống nàng tiên, ông Bụt hiện trong mơ
Mà chả cần ai giết
Chỉ thôi yêu là nó chết
Chỉ cần bâng quơ, vu vơ đặt ra câu hỏi
Trịnh trọng cái bâng quơ, vu vơ ấy
Hỏi rằng: Ích gì họa mi?
Ích gì bò sữa?
Ích gì xạ hương?
Ích gì thi sĩ?
Ích gì cái hôn?
Ích gì giấc mơ?
Ông Bụt ích gì?....

Đến nhà thơ cũng khó trả lời những câu hỏi như “Ích gì cái hôn? Ích gì thi sĩ? Ích gì giấc mơ? Ích gì ông Bụt?”, nói chi đến những người cầm túi tiền để cân nhắc đầu tư! Nhưng, nếu cứ luôn luôn đặt ra câu hỏi “Ích gì?”, lại còn “trịnh trọng” cái câu hỏi ấy, thì đến bò sữa còn chết, huống gì họa mi và giấc mơ? Với tôi, bài thơ trên còn thiếu một câu: Ích gì, Toán học?

Đối tượng của toán học: tìm về cội nguồn

Lo lắng như Chế Lan Viên cũng phải, nhưng làm sao có thể lảng tránh câu hỏi “Ích gì”? Nhất là đối với Toán học, khi nhìn sang “bên cạnh”, hình như chưa có ai đặt ra câu hỏi: “Ích gì, Vật lý? Ích gì, Sinh học?”

Ích gì, Vật lý? Dễ trả lời thôi, vì vật lý học nghiên cứu vật chất và chuyển động của chúng trong không gian và thời gian. Có ai lại không cần những kiến thức đó?

Ích gì, Sinh học? Dễ trả lời thôi, vì sinh học nghiên cứu các cơ thể sống và tương tác của chúng với môi trường. Có ai lại không cần những kiến thức đó?

Nhưng “Ích gì, Toán học? Toán học nghiên cứu cái gì?” thì lại là câu hỏi không dễ trả lời. Để hiểu đối tượng của Toán học, phải tìm về cội nguồn của nó. Tức là phải tìm đến Cơ sở của Euclid. Trước khi cuốn Cơ sở ra đời (khoảng 300 năm trước Công nguyên), Toán học chưa phải là một khoa học độc lập. Nó “lẫn” vào Triết học và Thiên văn học.

Bắt đầu với những “định nghĩa cơ bản” về những đối tượng của Toán học, trong Cơ sở -  cuốn I, Euclid đưa ra 23 định nghĩa cơ bản. Xin nhắc lại ba trong số đó, định nghĩa thứ 1, 2 và 15:
αʹ. Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.
 
(1. Điểm là một cái không có kích thước)
βʹ. Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές.

(2. Đường là cái chỉ có chiều dài, không có chiều rộng).

ιεʹ. Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον [ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ ̓ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.

(15. Đường tròn là một hình phẳng chỉ gồm một đường duy nhất (gọi là chu vi), (sao cho) mọi đường thẳng xuất phát (đến chu vi) từ một điểm nằm bên trong hình đều bằng nhau)
Như vậy thì, Toán học nghiên cứu những sự vật....không hề tồn tại trong thực tế! Không thể tìm ra một “vật thể” không có kích thước, cũng như không thể tìm ra một cái gì đó không có chiều rộng. Và hiển nhiên, cái đường tròn “lý tưởng” của Toán học không thể tồn tại, người ta chỉ nhìn thấy “vành nón tròn”, “Mặt trời tròn”, hay “khuôn trăng đầy đặn” của Thuý Vân!

Vậy thì, ích gì, cái khoa học nghiên cứu những sự vật không hề tồn tại? Tìm về cội nguồn lại không cho ta câu trả lời, mà ngược lại, hình như còn làm ta bối rối thêm.

Nhưng, phải chăng những gì không tồn tại trong thực tế đều vô ích, đều cần phải biến mất sau câu hỏi “Ích gì?”

Ta thử tìm về Pablo Picasso, hoạ sĩ vĩ đại của thế kỷ 20. Người ta nhìn thấy Picasso không chỉ trong những bức tranh ông để lại, mà cả trong những vật dụng hằng ngày. Ông làm thay đổi quan niệm của chúng ta về cái đẹp. Và điều kỳ diệu đó Picasso làm được, khi đưa ta về tận cùng của bản chất sự vật.

 Một trong những đề tài thường gặp trong tranh Picasso là bò tót. Con bò tót, đấu bò gần như là biểu tượng của Tây Ban Nha. Nhưng trong tranh Picasso, bò tót tượng trưng cho sức mạnh u tối của chủ nghĩa phát xít Franco những năm 30 của thế kỷ trước. Ta hãy xem cách Picasso vẽ bò tót.
Nhưng đó hiển nhiên chưa phải là “con bò của Picasso” vì nó hoàn toàn giống như con bò ta vẫn nhìn thấy trên đấu trường.
Con bò nổi tiếng của Picasso “đơn giản”, và “xấu” hơn nhiều (hình 2).
Nhưng để đi đến con bò như bức vẽ của trẻ con đó, nhà hoạ sĩ vĩ đại đã phải trải qua một quá trình sáng tạo nhọc nhằn. Ta hãy xem cách ông đi từ con bò giống như thật đến con bò với nét vẽ trẻ con (hình 3).
Như vậy, Picasso đã đi từ “con bò tót” đến “khái niệm bò”! Con bò “khái niệm” của Picasso với bộ sừng đáng sợ, với bộ óc nhỏ như một “điểm” của Euclid, đã thể hiện đầy đủ cái sức mạnh ngu muội của chủ nghĩa phát xít những năm 30. Hơn hai ngàn năm trước, Euclid cũng bằng cách đó đi từ “mặt trời tròn”, “vành trăng tròn” đến cái “đường tròn” của toán học.
Cái không có trong thế giới thực tại lại mô tả chân thực nhất thế giới thực tại, vì nó đưa ta về với bản chất. Phải chăng đó là lý do giải thích việc các lý thuyết toán học cho ta công cụ mô tả chính xác thế giới tự nhiên. Nói như Galilei, Thượng đế viết nên tự nhiên bằng ngôn ngữ của toán học.
Nghề làm Toán
Nhiều người hỏi bác Tôm (René Thom, nhà toán học Pháp, giải thưởng Fields) về nghề làm Toán. Thấy khó nói quá, bác bèn kể chuyện săn rồng. Chuyện rằng, xưa bên Trung Quốc, có anh chàng học nghề đi săn. Anh chẳng chịu học săn hổ, săn lợn, mà lại học nghề săn Rồng! Nghề này khó lắm, phải thực tập nhiều. Bởi thế nên khi anh ta thạo nghề thì trên thế gian chẳng còn lấy một con Rồng nào! Có người hỏi: Bây giờ sống bằng nghề gì? Đáp: đi dạy nghề săn Rồng! Bác Tôm nói: làm Toán tức là đi dạy nghề săn Rồng vậy! (thảo nào chẳng có chú Rồng nào dám bén mảng đến nhà bác Tôm!).
Thế thì, làng nước đâu có cần cái anh săn Rồng ấy. Có còn Rồng nữa đâu mà học nghề săn rồng? Ấy chết, đừng vội nói thế. Rồng thì chẳng còn, nhưng có khi vẫn phải học nghề săn Rồng đấy. Nếu anh đi học nghề săn lợn thì chắc gì đã bắn được hổ? Mà học nghề săn hổ thì chắc gì bắn được voi? Nhưng nếu đã thạo nghề săn Rồng thì hổ, báo, sư tử, voi,…chắc chắn đều săn được tuốt! Này nhé, Rồng có thân như cá sấu, móng vuốt như hổ, đầu sư tử, ẩn hiện như trăn, vậy mà còn không thoát được tay anh săn Rồng, thì chẳng nói gì đến hổ, báo, voi, trăn, mà sau này có “nhân bản” ra con nào nữa, anh ta cũng chẳng sợ! Thành ra, đã định học nghề đi săn thì hãy cứ học nghề săn Rồng!
Từ cá sấu, hổ, sư tử, trăn,…người xưa “trừu tượng hóa” thành con Rồng. Cũng như thế, từ thực tiễn, người ta trừu tượng hóa thành Toán học. Câu chuyện đơn giản của bác Tôm mà thâu tóm được cả cái mạnh, và cái yếu, của Toán học là vậy.
Khi đã trừu tượng hoá để tìm đến bản chất, Toán học không phải bao giờ cũng dễ dàng trở về với thực tại, vốn là nơi xuất phát của nó. Thậm chí, người ta còn nghi ngờ cái khả năng nó có thể quay về với thực tại.
Bởi thế nên mới có người hỏi khích bác Tôm: “Mấy cái anh làm Toán gàn dở bịa ra những phương trình, vi phân, tích phân,…gì gì nữa nhỉ, thực tế làm gì có? Bọn họ chỉ ngồi chơi cái trò chơi trí tuệ đấy thôi”! Bác Tôm hỏi lại: “Này nhé, nếu anh đánh rơi cái nhẫn trong góc nhà kho bừa bộn, tối om, mà lại không có đèn, thì anh tìm nó ở đâu”? Anh chàng nọ ngạc nhiên: “Hỏi lạ nhỉ, thì chui vào đó mà tìm chứ ở đâu nữa”! Bác Tôm cười: “Thế thì có khi mấy tháng trời vẫn chưa tìm ra. Cứ như tôi thì tôi sẽ chạy ra dưới ngọn đèn sáng mà tìm vậy”! Anh chàng được mẻ cười vỡ bụng: “Mấy anh làm Toán gàn quá đi mất, biết tỏng tòng tong là nhẫn rơi trong góc nhà kho, mà lại ra dưới đèn tìm thì có mà suốt đời tìm cũng không thấy”. Ấy vậy mà cái anh đồ (Toán) gàn dở chẳng dại lắm đâu. Này nhé, anh ta cầm lấy chiếc nhẫn, đứng dưới ngọn đèn mà thả cho nó rơi. Tất nhiên là tìm lại được ngay (ở đó sáng lắm). Cứ như thế mười lần, hai mươi lần, một trăm lần,…anh ta phát hiện ra quy luật: khi rơi thì cái nhẫn nói chung chạy theo hướng nào. Bởi thế lúc vào góc nhà kho tối om, anh ta tìm ra ngay chiếc nhẫn. Mà không chỉ chiếc nhẫn ấy, nhà kho ấy, mà dù chiếc nhẫn khác, rơi ở nhà kho khác cũng tối om như vậy, thì đối với anh làm Toán, tìm nó cũng chẳng khó khăn gì!
Các phương trình, các lý thuyết Toán học cũng như ngọn đèn của bác Tôm vậy. Có nó, người ta mới “làm Toán” được, tức là mới tìm ra quy luật của sự vật. Muốn trở về được với thực tiễn thì trước tiên phải biết rời xa thực tiễn, để không còn bị che lấp bởi cái rườm rà, không bản chất của đời thường.
Ba trăm năm trước bác Tôm, Newton đã từng nói: “Không có gì gần với thực tiễn hơn là một lí thuyết đẹp!”
Ứng dụng Toán học
Nhưng cái câu hỏi “Ích gì, Toán học?” vẫn cứ lởn vởn đâu đây, nhất là khi nhìn những nhà toán học hàng đầu nghiên cứu những thứ hoàn toàn “xa rời thực tế” , mà ngay cả bản thân họ cũng chưa biết mình sẽ đi đến đâu.
Người ta thường hỏi nhà Toán học: Lí thuyết của anh ứng dụng vào đâu? Không phải lúc nào cũng có câu trả lời. Vào Thế kỉ thứ 3 trước Công nguyên, nếu ai đó hỏi Apolonius rằng nghiên cứu các đường cônic (nhận được bằng cách cắt mặt nón bởi mặt phẳng) để làm gì, thì chắc Apolonius không trả lời được. Ông ta chỉ nghiên cứu các đường cônic vì thấy là chúng “đẹp”. Không chỉ Apolonius không thể trả lời, mà hơn chục thế kỉ sau cũng không ai trả lời được. Phải chờ đến Kepler và Newton, tức là 20 thế kỉ sau, người ta mới biết ông già Apolonius đã từng làm trò chơi với các quỹ đạo chuyển động của các hành tinh! Chính vì bị ám ảnh bởi các đường cônic ngay từ thuở ấu thơ mà Kepler đã nghi ngờ kết luận của những người đi trước về quỹ đạo tròn, và đưa ra giả thuyết quỹ đạo đó là đường ellip, với hai tiêu cự rất gần nhau. Giả thuyết đã được Newton chứng minh, với định luật vạn vật hấp dẫn. “Cái đẹp”, từ chỗ không biết để làm gì, đã tìm thấy một ứng dụng vào loại vĩ đại nhất trong lịch sử, sau hơn hai ngàn năm.
Bác Tôm có lần nói: đối với những người mở đường, đừng hỏi họ đi đâu, khi người ta biết mình đi đâu, người ta không đi được xa ”quand on sait òu va, on va pas loin”. Thật thế, nếu anh định đi đến thành phố Hồ Chí Minh thì chắc là anh cũng chỉ đi đến Cà Mau là cùng. Ngay như cái anh Armstrong, biết mình đi đến Mặt trăng thì cũng chỉ đến đó thôi, rồi về. Còn bác Tôm chẳng biết mình đi đâu, nên bác có thể đi xa hơn, đến tận sao Hỏa, hay những miền đất mới của khoa học. Và chúng ta, dù không đi xa được như bác Tôm, nhưng muốn ngày mai có bát cơm ngon, thì đừng quá sốt ruột nếu hôm nay chưa “ra ngô, ra khoai” gì! Còn nếu muốn “ra ngô, ra khoai” ngay thì có khi cả đời chỉ biết ăn ngô, ăn khoai!
Vậy nhưng, nếu các lý thuyết Toán học đều phải cần đến 2000 năm sau mới có ứng dụng, thì câu hỏi “Ích gì, Toán học?” sẽ dễ nhận được câu trả lời là “Vô ích”! Dù “nhìn xa” đến mấy, người ta cũng khó nhìn đến tận…2000 năm sau!
Nhưng Toán học đi vào thực tiễn với những con đường khác nhau. Có khi 2000 năm, có khi chỉ hai năm, thậm chí chỉ cần hai tháng! Ví dụ nổi tiếng là những hệ mật mã khoá công khai, như hệ mã RSA hay hệ mã dùng  đường cong elliptic. Từ trang giấy của nhà nghiên cứu toán học đến ứng dụng vào cái điện thoại thông minh hay cái thẻ tín dụng gần như là tức thời.
Không chỉ là những ứng dụng dễ nhìn thấy, Toán học giúp cho con người luôn hướng đến sự đơn giản trong tư duy. Tư duy Toán học chính là lối tư duy loại bỏ tất cả những gì không cần thiết, những gì rườm rà. Sự tối giản chính là một tiêu chuẩn của sự tối ưu, và nhiều khi, còn là tiêu chuẩn của cái đẹp. Một lần nữa, Toán học lại rất gần với Nghệ thuật.
Nhà điêu khắc vĩ đại người Pháp Auguste Rodin (1840-1917) đã sáng tạo nên pho tượng bất hủ Le Penseur (Người suy tư), khắc họa hình ảnh một con người mà sự suy nghĩ căng thẳng hiện ra trên từng thớ thịt. Có người hỏi Rodin: “Làm thế nào mà ông có thể tạc nên pho tượng tuyệt vời đến vậy?”. Rodin trả lời: “Đơn giản thôi, tôi lấy một khối đá, và thấy cái gì thừa thì đẽo nó đi!”.  
Nhưng, tại sao sau tất cả những điều đã nói, vẫn tồn tại dai dẳng câu hỏi: “Ích gì, Toán học”?
Người ta hằng ngày dùng điện thoại di động để nói đủ thứ chuyện, đôi khi là để nói về cái sự vô ích của Toán học. Người ta hằng ngày dùng thẻ tín dụng để chuyển tiền, rút tiền. Nhưng sẽ không có điện thoại thông minh, không có thẻ tín dụng nếu không có mật mã khoá công khai, không có Toán học. Vậy nhưng người ta có thể vẫn rất ngại dùng tiền đó đầu tư cho Toán học, vì “Ích gì, Toán học?” Khi dùng điện thoại, khi rút tiền, không ai thấy “tích phân, vi phân, tổ hợp hay số học” trong đó. Nói khác đi, Toán học đã đến mức “trong suốt” đối với người sử dụng nó (tất nhiên chỉ khi đó nó mới được dùng cho tất cả mọi người).
Xem ra, sự “trong suốt” đôi khi lại là trở ngại lớn hơn ngọn núi!
Năm 1674  Mayow tìm thấy trong khí quyển một chất giúp cho sự sống. Năm 1773 Karl Scheele lần đầu tiên cô lập được chất khí đó. Antoine Lavoisier lặp lại thí nghiệm đó của Scheele và gọi đó là “oxygen”. Như vậy, oxy được “tìm ra” khá muộn. Tại sao? Vì nó trong suốt. Người ta hầu như không nhận thấy mình đang cần đến oxy. Và không chịu bỏ tiền ra “cho nó”.
Phải đến khi con người nhìn thấy những hình ảnh sau đây:

Đó là không khí ở Bắc Kinh. Nó không còn trong suốt nữa. Và người ta buộc phải nhìn thấy nó, buộc phải họp nhau ở Rio de Janeiro, ở Kyoto, ở Paris để bàn nhau tìm cách bỏ tiền ra làm cho nó trong suốt trở lại. Giá như người ta nhìn thấy sự cần thiết từ khi nó còn trong suốt!
“Tính” và “Toán”
Một người bạn của bác Tôm, ông F.Hirzebruch, khi trả lời phỏng vấn của các nhà báo, trên cương vị là Chủ tịch đầu tiên của Hội Toán học châu Âu, đã nói:
“Người ta thường hay nhấn mạnh vai trò của Toán học trong phát triển công nghệ, nhưng tôi nghĩ rằng, sẽ đến lúc công nghệ phát triển để giải phóng con người, cho họ thời gian quay về với thơ ca, âm nhạc và Toán học”.
Phải chăng, Hirzebruch muốn ám chỉ rằng, trong Toán học có hai phần: “tính” và “toán”.
Nếu như tính rất cần thiết cho công nghệ, thì Toán, ngoài chức năng phát triển phần tính ra, còn góp phần làm nên Con Người, cũng giống như âm nhạc, nghệ thuật và thơ ca.
Nhưng có thể 5 năm nữa, trong dịp kỷ niệm 10 năm VIASM, chúng ta lại sẽ phải bàn về câu hỏi : "Ích gì, Toán học?”
Phải chăng đó là câu hỏi vĩnh cửu, song hành với Toán học từ khi nó ra đời? Cũng như câu hỏi tương tự cũng song hành cùng Nghệ thuật và Thơ ca.

Hà Huy Khoái - Tiasang

-->Xem tiếp... Categories: Dạy học Toán, Toán học thú vị

Toàn cảnh vụ tranh cãi 4x8 hay 8x4*

* Tên bài đặt theo kiểu giật "tít" câu view của báo mạng.

Nội dung sự việc:

Mới đây, bài kiểm tra của em học sinh do một phụ huynh đăng tải trên một trang mạng xã hội đang nhận được nhiều sự quan tâm, tranh luận thắc mắc tính đúng sai của đáp án mà giáo viên đưa ra.

Bài toán đang gây tranh cãi về đáp án nào đúng, đáp án nào sai

Cụ thể như sau: Nhà Lan có 4 chuồng gà, mỗi chuồng có 8 con gà. Hỏi nhà Lan có tất cả bao nhiêu con gà? Phép tính đúng là:
Với các phương án:
A. 4 x 8 = 32
B. 8 x 4 = 32
C. 4 + 8 = 12
D. 8 : 4 = 2
Ở bài toán này, em học sinh lựa chọn đáp án đúng là A (4 x 8 = 32), tuy nhiên giáo viên lại cho rằng đây là đáp án sai và phương án B (8 x 4 = 32) mới là chính xác.

Ý kiến dư luận:

Cuộc tranh luận về cách giải cũng như thứ tự phép tính của bài toán này nhanh chóng được rất nhiều người quan tâm ngay sau khi phụ huynh đăng tải. Nhiều người thắc mắc 4x8 hay 8x4 thì khác gì nhau, khi đều cùng ra kết quả là 32 trong khi cô giáo lại bắt bẻ học sinh.
Thậm chí có người tỏ ra lo ngại về chất lượng đội ngũ giáo viên hiện nay.

Ý kiến của TS Vũ Thu Hương (GV khoa Giáo dục tiểu học - Trường ĐH Sư phạm Hà Nội):

Với đề này, theo TS Hương, cần phân biệt cho học sinh hiểu đâu là đơn vị tính đâu là số lần được gấp lên. Với câu hỏi “Hỏi nhà Lan có tất cả bao nhiêu con gà?”, số gà là đơn vị tính, sẽ viết phép tính là 8x4 (tức là 8 con gà gấp lên 4 lần).
Còn viết 4x8 (sẽ được hiểu là số chuồng là 4 gấp lên 8 lần). Dù kết quả cuối cùng của phép tính đều là 32 nhưng trong khi đề yêu cầu tính số gà, vì vậy viết 4x8 sẽ sai về mặt bản chất.
“Mặc dù, các phụ huynh đã được học phép giao hoán trong phép nhân thì thấy kết quả 4x8 hay 8x4 cũng đều ra một kết quả là 32. Tuy nhiên, khi con trẻ chưa học phép giao hoán, nếu các cô giáo cho các con điểm tối đa, không khắt khe thứ tự phép tính, thì có thể khiến trẻ hiểu sai bản chất vấn đề. Đương nhiên là đúng về kết quả nhưng không đúng quy trình dạy học tiểu học. Nếu dạy theo cách nào cũng được sẽ khiến trẻ hiểu một cách rối loạn”, TS Hương nói.

Ý kiến của chuyên gia đại số (giấu tên):
 Xem xong bài toán và cách lý giải của các giảng viên Khoa Giáo dục Tiểu học, tôi thấy giật mình. Với cách viết như thế sẽ tạo nên một thứ ngôn ngữ khoa học dị biệt… Đó là một điều gây tác hại lớn như thế nào, chắc mọi người đã rõ”.

Cần nhớ rằng theo thông lệ đời sống và khoa học quốc tế từ xa xưa cho đến ngày nay thì: 8 con gà + 8 con gà + 8 con gà + 8 con gà = 4 lần 8 con gà = 4 x 8 con gà = 32 con gà.

Trong khi đó SGK tiểu học và ngay cả các giảng viên ở khoa tiểu học Trường ĐH Sư phạm HN cho rằng: 8 con gà + 8 con gà + 8 con gà + 8 con gà = 8 con gà x 4 = 32 con gà.

Cần nhắc lại rằng, từ dân gian đến khoa học, từ SGK ở bậc tiểu học đến những cuốn sách khoa học hiện đại của thế giới, thì a + a +…+ a (100 lần) đều được viết là 100a, không ai viết là a100.

Nhớ rằng, mặc dù chỉ là quy ước, hay đặt tên, thì trong mọi lĩnh vực, người ta bao giờ cũng phải xem xét hết sức cẩn thận và khoa học, từ truyền thống, đến văn hóa và khoa của nhân loại, xem người ta đã làm như thế nào. Kẻo viết “4 cái nhà” thành “cái nhà 4”… mà những người biết lẽ sống sẽ không bao giờ dám làm liều như thế!

TS Giáp Văn Dương

Để làm phép nhân, thông thường người ta lấy (số nhóm) x (số phần tử của nhóm). VD: Hình chụp SGK của Singapore, phần trên có 5 nhóm, mỗi nhóm 4 phần tử nên viết 5x4; phần dưới là 4x5, và cũng bằng 5x4. Nhưng ở VN như vậy là sai.

PGS Văn Như Cương

Đáp án của cô giáo đưa ra 8 (gà) x4 =32 là đúng, phải tính số gà thì phải lấy số con gà rồi nhân với số chuồng. Còn đáp án 4 x 8 là không đúng, bởi viết như thế sẽ hiểu là số chuồng là 4 gấp lên 8 lần mặc dù kết quả cuối cùng của phép tính đều là 32. Ở đây chúng ta cần phân biệt cho học sinh hiểu được đâu là đơn vị tính, đâu là số lần được gấp lên.Ông Cương lấy ví dụ một bài toán để so sánh: Một lớp học có 30 học sinh, hỏi 5 lớp học có bao nhiêu học sinh? Đáp số là: 30 x 5 = 150. Chứ không thể lấy 5 x30 được.

PGS.TS. Đỗ Đình Hoan (Chủ biên SGK Toán bậc Tiểu học)

Trước đây, khi trình bày phép tính giải bài toán ở tiểu học thường dùng quy ước viết như sau, chẳng hạn phép tính giải bài toán nêu trên sẽ là 1 con gà x 8 x4 = 32 con gà hoặc 8 x 4= 32 con gà... Vì là quy ước nên khi biên soạn chương trình và SGK mới, chúng tôi đã chọn cách viết 8x4=32 (con gà). Việc quy ước này được thực hiện từ lớp 1 đến lớp 5 khi trình bày cách giải bài toán có lời văn để thống nhất, tránh việc mỗi giai đoạn học tập sẽ viết một kiểu khác nhau.

Trong thực thế, với bài toán nêu trên có thể có một số học sinh (HS) viết theo cách 4x8=32 (con gà) thì GV nên hướng dẫn HS viết đúng quy ước. Tránh những giải thích dễ gây khó hiểu cho HS. GV nên có hình thức khuyến khích, động viên HS học tập, chưa nên nhận xét đúng sai đối với những vấn đề HS chưa học chính thức. Phải qua một quá trình làm quen với tính chất giao hoán qua các ví dụ cụ thể thì lúc đó có thể dạy cho HS một cách tường minh . 

....

Trong bài toán cụ thể này, nếu học sinh để số chuồng lên trước thì vẫn là đúng, GV không được nói là sai. Còn vì sao nó đúng thì các em sẽ được giải thích ở lớp kế tiếp.. Chính vì thế tôi nghĩ, trong quá trình giảng dạy hoặc giao bài kiểm tra tốt nhất GV không nên nêu vấn đề này ra để rồi lại gây khó khăn cho HS.  

PGS Phùng Hồ Hải (Phó viện trưởng viện Toán học Việt Nam)

1. Về nguyên tắc lời giải là 8+8+8+8=32 - khi hỏi tổng số gà thì phải làm phép tính cộng.
2. Vấn đề là cách rút gọn vế trái thành 4x8 hay 8x4. Nếu ở trường người ta dạy các cháu "lấy số gà nhân với 4" thì phép tính phải làm là 8x4. Nói cách khác 8+8+8+8 = 8x4 - là quy ước ở trường học Việt Nam.
3. Bạn có thể nói "8+8+8+8 là 4 lần 8, vậy phải viết 4x8", cũng đúng, nhưng đó là quy ước của bạn, không phải quy ước ở trường.
4. Tại sao không dùng cả hai quy ước? Vì như thế thì không dạy được trẻ về tính giao hoán. Hai quy ước trên đều mô tả một nội dung toán học, đó là 8+8+8+8. Không thể từ đó suy ra tính giao hoán được.
5. Tính giao hoán thể hiện ở đẳng thức 8+8+8+8=4+...+4 (8 số 4). Không thể dùng gà và chuồng để minh họa tính giao hoán được. Bản chất của tính giao hoán là khả năng tính được theo hai cách. Chẳng hạn xếp các học sinh thành 4 hàng dọc, mỗi hàng 8 em. Rồi đếm số học sinh theo hàng dọc hoặc hàng ngang.

Học sinh Mỹ học thế nào?

Người Mỹ thường dùng hình ảnh để minh họa phép tính nhân cho học sinh dễ hiểu và dễ hình dung hơn. Cụ thể là họ dùng một dãy các hình minh họa được sắp xếp thẳng hàng thẳng cột.
Ví dụ khi muốn tính số người trong một ban nhạc, thì họ sẽ dùng hình nhưng chiếc ghế được sắp xếp theo các hàng, cột để minh họa cho học sinh dễ hình dung hơn. Đây mà một trong những cách giúp học sinh có thể hiểu và làm phép tính nhân một cách nhanh nhất.

H1: Hình ngôi sao có 4 hàng 3 cột

H2: …hay một dãy hình tam giác có 5 hàng 4 cột

Chú ý rằng khi các hàng và các cột được sắp xếp trong hình phải bằng nhau. Và lúc đó, một hàng sẽ được coi là những nhóm nhỏ bằng nhau.
Như ví dụ dưới đây là hình ảnh của 2 nhóm nhỏ có số ô tròn bằng nhau, các học sinh Mỹ sẽ được dạy rằng khi muốn thực hiện phép nhân, ta lấy số nhóm nhân với số các hình trong một nhóm.

H3: Ta có phép nhân 2 x 5 = 10 trong đó 2 là số nhóm; 5 là số các ô tròn trong mỗi nhóm và 10 là tổng số các ô tròn.

H4 : Khi các nhóm được sắp xếp theo các hàng bằng nhau thì ta vẫn có phép nhân: 2 x 5 = 10 giống như ở trên.
Các hàng và cột được sắp xếp như thế nào thì ta vẫn luôn lấy số hàng nhân với số đối tượng trong một hàng. Khi tuân theo nguyên tắc đó, học sinh sẽ dễ dàng thực hiện các phép tính nhân.
Bên cạnh đó, người Mỹ cũng dùng hình minh họa để dạy học sinh của họ rằng phép nhân có tính giao hoán. Tính giao hoán của phép nhân được thể hiện là khi ta hoán đổi các vế trong một phép nhân, thì kết quả của phép nhân vẫn không thay đổi.
Như hình minh họa, một hình có 6 hàng, 3 cột, một hình có 3 cột, 6 hàng. Ta sẽ có 2 phép nhân tương ứng với 2 hình nhưng dù là phép tính nào thì kết quả của số hình vuông trong ảnh vẫn sẽ bằng nhau.

H5 : Ta có phép nhân 6 x 3 = 18

H6 : Ta có phép nhân 3 x 6 = 18

Các bài tổng hợp từ:
http://vietnamnet.vn/vn/giao-duc/195667/tranh-cai--nay-lua--voi-bai-toan-tinh-ga...
http://vietnamnet.vn/vn/giao-duc/196016/chuyen-gia-dai-so-giat-minh-khi-xem-bai-toan-tinh-ga.html
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=10203794912406371...
http://dantri.com.vn/giao-duc-khuyen-hoc/pgs-van-nhu-cuong...
http://dantri.com.vn/giao-duc-khuyen-hoc/chu-bien-sgk-mon-toan-tieu....
https://www.facebook.com/hai.phungho.5/posts/4578103306903
http://dantri.com.vn/giao-duc-khuyen-hoc/hoc-sinh-my-singapore-giai-toan...

-->Xem tiếp... Categories: Dạy học Toán, Toán học thú vị